Calculando pirâmide

Área Lateral de uma pirâmide

Às vezes podemos construir fórmulas para obter as áreas das superfícies que envolvem um determinado sólido. Tal processo é conhecido como a planificação desse sólido. Isto pode ser realizado se tomarmos o sólido de forma que a sua superfície externa seja feita de papelão ou algum outro material.

No caso da pirâmide, a idéia é tomar uma tesoura e cortar (o papelão d)a pirâmide exatamente sobre as arestas, depois reunimos as regiões obtidas num plano que pode ser o plano de uma mesa.

As regiões planas obtidas são congruentes às faces laterais e também à base da pirâmide.

Se considerarmos uma pirâmide regular cuja base tem n lados e indicarmos por A(face) a área de uma face lateral da pirâmide, então a soma das áreas das faces laterais recebe o nome de área lateral da pirâmide e pode ser obtida por:

A(lateral) = n A(face)

Exemplo: Seja a pirâmide quadrangular regular que está planificada na figura acima, cuja aresta da base mede 6cm e cujo apótema mede 4cm.

Como A(lateral)=n.A(face) e como a pirâmide é quadrangular temos n=4 triângulos isósceles, a área da face lateral é igual à área de um dos triângulos, assim:

A(face) = b h/2 = 6.4/2 = 12 A(lateral) = 4.12 = 48 cm²

Exemplo: A aresta da base de uma pirâmide hexagonal regular mede 8 cm e a altura 10 cm. Calcular a área lateral.
Tomaremos a aresta com a=8 cm e a altura com h=10 cm. Primeiro vamos calcular a medida do apótema da face lateral da pirâmide hexagonal. Calcularemos o raio r da base.
Como a base é um hexágono regular temos que r=(a/2)R[3], assim r=8R[3]/2=4R[3] e pela relação de Pitágoras, segue que (ap)²=r²+h², logo:

(ap)²= (4R[3])²+10² = 48+100 = 148 = 4·37 = 2R[37]

A área da face e a área lateral, são dadas por:

A(face) = 8.2[37]/2 = 8.R[37]
A(lateral) = n.A(face) = 6.8.R[37] = 48.R[37]

Área total de uma Pirâmide

A área total de uma pirâmide é a soma da área da base com a área lateral, isto é:

A(total) = A(lateral) + A(base)

Exemplo: As faces laterais de uma pirâmide quadrangular regular formam ângulos de 60 graus com a base e têm as arestas da base medindo 18 cm. Qual é a área total?

Já vimos que A(lateral)=n.A(face) e como cos(60º)=(lado/2)/a, então 1/2=9/a donde segue que a=18, assim:

A(face) = b.h/2 = (18.18)/2 = 162
A(lateral) = 4.162 = 648
A(base) = 18² = 324

Concluímos que:

A(total) = A(lateral) + A(base) = 648+324 = 970

Exemplo: Um grupo de escoteiros quer obter a área total de suas barracas, as quais têm forma piramidal quadrangular. Para isso, eles usam medidas escoteiras. Cada dois passos de um escoteiro mede 1 metro. A barraca tem 4 passos escoteiros de lado da base e 2 passos de apótema. Calcular a área da base, área lateral e a área total.

A(base) = 2.2 = 4 m²
A(lateral) = 4.2.1 = 8 m³

Logo, a área total da barraca é

A(total) = A(lateral) + A(base) = 8+4 = 12 m²

Volume de uma Pirâmide

O volume de uma pirâmide pode ser obtido como um terço do produto da área da base pela altura da pirâmide, isto é:

Volume = (1/3) A(base) h

Exemplo: Juliana tem um perfume contido em um frasco com a forma de uma pirâmide regular com base quadrada. A curiosa Juliana quer saber o volume de perfume que o frasco contém. Para isso ela usou uma régua e tirou duas informações: a medida da aresta da base de 4cm e a medida da aresta lateral de 6cm.
Como V(pirâmide)=A(base).h/3, devemos calcular a área da base e a medida da altura. Como a base tem forma quadrada de lado a=4cm, temos que A(base)=a²=4cm.4cm=16 cm².

A altura h da pirâmide pode ser obtida como a medida de um cateto de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é dada pela altura L=6cm da aresta lateral e o outro cateto Q=2×R[2] que é a metade da medida da diagonal do quadrado. Dessa forma h²=L²-Q², se onde segue que h²=36-8=28 e assim temos que h=2R[7] e o volume será dado por V=(1/3).16.2R[7]=(32/3)R[7].

Seção Transversal de uma pirâmide

Seção transversal de uma pirâmide é a interseção da pirâmide com um plano paralelo à base da mesma. A seção transversal tem a mesma forma que a base, isto é, as suas arestas correspondentes são proporcionais. A razão entre uma aresta da seção transversal e uma aresta correspondente da base é dita razão de semelhança.

Observações sobre seções transversais:

1. Em uma pirâmide qualquer, a seção transversal e a base são regiões poligonais semelhantes. A razão entre a área da seção transversal e a área da base é igual ao quadrado da razão de semelhança.
   
2. Ao seccionar uma pirâmide por um plano paralelo à base, obtemos outra pirâmide menor (acima do plano) semelhante em todos os aspectos à pirâmide original.
   
3. Se duas pirâmides têm a mesma altura e as áreas das bases são iguais, então as seções transversais localizadas à mesma distância do vértice têm áreas iguais.
   

	V(seção)	Volume da seção até o vértice (volume da pirâmide menor)
	V(piram)	Volume da pirâmide (maior)
	A(seção)	Área da seção transversal (base da pirâmide menor)
	A(base)	Área da base da pirâmide (maior)
	h	Distância do vértice à seção (altura da pirâmide menor)
	H	Altura da pirâmide (maior)

Assim:

V(seção) V(base)	=	A(seção) A(piram)	·	h H

A(seção) A(base)	=	h² H²

Então:

V(seção) V(base)  = h³ H³

Postado por : Uelder.

Jogos Matemáticos

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	Postado por Rodrigo Ribeiro.

Tronco de cone

Se um cone sofrer a intersecção de um plano paralelo à sua base circular, a uma determinada altura, teremos a constituição de uma nova figura geométrica espacial denominada Tronco de Cone.

Observe que, diferentemente do cone, o tronco de cone possui duas bases circulares em que uma delas é maior que a outra, dessa forma, os cálculos envolvendo a área superficial e o volume do tronco envolverão a medida dos dois raios. A geratriz, que é a medida da altura lateral do cone, também está presente na composição do tronco de cone.

Não devemos confundir a medida da altura do tronco de cone com a medida da altura de sua lateral (geratriz), pois são elementos distintos. A altura do cone forma com as bases um ângulo de 90º. No caso da geratriz os ângulos formados são um agudo e um obtuso.

h = altura
g = geratriz

As fórmulas referentes ao cálculo da área superficial e do volume são as seguintes:

Área Superficial

 Volume

Exemplo 1

Os raios das bases de um tronco de cone são 6 m e 4 m. A altura referente a esse tronco é de 10 m. Determine o volume desse tronco de cone. Lembre-se que π = 3,14.

 Exemplo 2

Um tronco de cone possui a medida dos raios igual a 5 m e 8 m. Sabendo que a medida da altura é igual a 4, determine a área superficial desse sólido.

Para determinarmos a área superficial devemos calcular a geratriz desse tronco de cone. Observe o cálculo realizado:

 Utilizando o Teorema de Pitágoras temos:

g² = 4² + 3²
g² = 16 + 9
g² = 25
√g² = √25
g = 5

Calculando a área superficial

 

 

  Postado por : Uelder.

Dicas para mutiplicação

Dicas para multiplicação

Multiplicar um número por 9: acrescentar um zero no final do número e subtrair pelo número inicial.

Exemplos:

a) 35 x 9 =

Colocamos um zero no final de 35. Assim, o número fica sendo 350.
Subtraímos 350 do número inicial 35 → 350 - 35 = 315.
Logo: 35 x 9 = 315

b) 89 x 9

Colocamos um zero no final de 89. Assim, o número fica sendo 890.
Subtraímos 890 do número inicial 89 → 890 - 89 = 801.

Logo: 189 x 9 = 801

Multiplicar um número por 10: deslocar a vírgula uma casa decimal para a direita.

Exemplos:

a) 34,67 x 10 = 346,7
b) 13 x 10 = 130

Multiplicar um número por 10ⁿ: deslocar a vírgula n casas decimais para a direita.

Exemplos:

a) 345,687 x 10³ = 345687

b) 25 x 10² = 2500

c) 3, 458 x 10 = 34,58


Multiplicar um número por 11:

- Quando o número a ser multiplicado tiver 2 algarismos: somar esses 2 algarismos e colocar o resultado no meio deles.

Exemplos:

a) 18 x 11.

Somando seus 2 algarismos, temos 1 + 8 = 9. Colocando esse 9 no meios deles, fica 198

Logo: 18 x 11 = 198

b) 51 x 11

Somando seus 2 algarismos, temos 5 + 1=6. Colocando esse 6 no meio deles: 561.

Logo, 51 x 11 = 561

postado por : Ueldre.

Pensamentos Matematicos

Confira abaixo alguns pensamentos matemáticos:

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"A Matemática é como um moinho de café que mói admiravelmente o que se lhe dá
para moer mas não devolve outra coisa senão o que se lhe deu."

Faraday

Pensamento enviado por: William Diego

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"Sempre me pareceu estranho que todos aqueles que estudam seriamente esta ciência acabam tomados de uma espécie de paixão pela mesma. Em verdade, o que proporciona o máximo de prazer não é o conhecimento e sim a aprendizagem, não é a posse mas a aquisição, não é a presença mas o ato de atingir a meta."

Carl Friedrich Gauss

Pensamento enviado por: Ubiratan Barros Arrais

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"A Matemática é a honra do espírito humano."

Leibniz

Pensamento enviado por: Ubiratan Barros Arrais

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"Eis a Matemática – a criação mais original do engenho humano"

Whitehead

Pensamento enviado por: Ubiratan Barros Arrais

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"Nota-se entre os matemáticos, uma imaginação assombrosa... Repetimos: Havia mais imaginação na cabeça de Arquimedes do que na de Homero"

Voltaire

Pensamento enviado por: Ubiratan Barros Arrais

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"Não há ciência que fale das harmonias da natureza com mais clareza do que a Matemática."

Paulo Carus

Pensamento enviado por: Ubiratan Barros Arrais

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"Jamais considere seus estudos como uma obrigação, mas como uma oportunidade invejável
para aprender a conhecer a influência libertadora da beleza do reino do espírito, para seu
próprio prazer pessoal e para proveito da comunidade à qual seu futuro trabalho pertencer."

Albert Ein

Postado por: Uelder

Origem das Probabilidades

O passo decisivo para fundamentação teórica da inferência estatística, associa-se ao desenvolvimento do cálculo das probabilidades. A origem deste costuma atribuir-se a questões postas a Pascal (1623-1662) pelo célebre cavaleiro Méré, para alguns autores um jogador inveterado, para outros um filósofo e homem de letras. Parece, no entanto, mais verosímil aceitar que as questões postas por Méré (1607-1684) eram de natureza teórica e não fruto da prática de jogos de azar. Parece, também, aceitável que não foram essas questões que deram origem ao cálculo das probabilidades. Do que não resta dúvida é de que a correspondência trocada entre Pascal e Fermat (1601-1665) - em que ambos chegam a uma solução correta do célebre problema da divisão das apostas - representou um significativo passo em frente no domínio das probabilidades. 

  

Também há autores que sustentam que o cálculo das probabilidades teve a sua origem na Itália com Paccioli (1445-1514), Cardano (1501-1576), Tartaglia (1499-1557), Galileo (1564-1642) e outros. Se é certo que nomeadamente Cardano no seu livro Liber de Ludo Aleae, não andou longe de obter as probabilidades de alguns acontecimentos, a melhor forma de caracterizar o grupo é dizer que marca o fim da pré- história da teoria das probabilidades. Três anos depois de Pascal ter previsto que aliança do rigor geométrico com a incerteza do azar daria origem a uma nova ciência, Huyghens (1629-1645), entusiasmado pelo desejo de " dar regras a coisas que parecem escapar á razão humana" publicou "De Ratiociniis in Ludo Aleae" que é considerado como sendo o primeiro livro sobre cálculo das probabilidades e tem a particularidade notável de introduzir o conceito de esperança matemática. 

     

Leibniz (1646-1716), como pensador ecléctico que era, não deixou de se ocupar das probabilidades. Publicou, com efeito, duas obras, uma sobre a " arte combinatória" e outra sobre as aplicações do cálculo das probabilidades às questões financeiras. Foi ainda devido ao conselho de Leibniz que Jacques Bernoulli se dedicou ao aperfeiçoamento da teoria das probabilidades. A sua obra "Ars Conjectandi", foi publicada oito anos depois da sua morte e nela o primeiro teorema limite da teoria das probabilidades é rigorosamente provado. Pode dizer-se que foi devido às contribuições de Bernoulli que o cálculo das probabilidades adquiriu o estatuto de ciência. São fundamentais para o desenvolvimento do cálculo das probabilidades as contribuições dos astrónomos, Laplace, Gauss e Quetelet.

Postado Por Elbson

   

Desafio....

01-Um pequeno caminhão pode carregar 50 sacos de areia ou 400 tijolos. Se foram colocados no caminhão 32 sacos de areia, quantos tijolos pode ainda ele carregar?

postado por Elbson

Raizes e radicais

Raizes e radicais

     Dado um número real a e um número natural , define-se (raiz n-ésima de a) como sendo o número real R, se existir, tal que:

• para n par:
  = R  desde que e

• para n ímpar:
    = R  desde que

Exemplos:
a)

b)

c)  » não existe

d)

e)

* Quando n=2, a raiz n-ésima chama-se raiz quadrada, quando n=3, chama-se raiz cúbica, quando n=4 chama-se raiz quarta, etc.

     Na expressão ; N chama-se índice; a chama-se radicando e   chama-se radical.

Propriedades:
 

1) Dividindo o índice do radical e o expoente do radicando por um mesmo número diferente de 0, o valor do radical não se altera.
2) Multiplicando o índice do radical e o expoente do radicando por um mesmo número diferente de 0, o valor do radical não se altera
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)

Exemplos:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9

     Postado por: Welder